某些修改 Dirichlet 字符部分和的 $\Omega$ 界 II

修改 Dirichlet 字符 $f$ 是一种完全乘性函数，使得对于某个 Dirichlet 字符 $\chi$，当 $p \notin S$ 时 $f(p)=\chi(p)$，其中 $p$ 为素数；对于属于集合 $S$ 的素数 $p$，有 $|f(p)| \leq 1$。若 $\chi$ 为原始字符且对于每个 $p \in S$ 有 $|f(p)|=1$，则我们证明 $\sum_{n \leq x} f(n)=\Omega((\log x)^{(|S|-3)/2})$。这对 Klurman、Mangerel、Pohoata 和 Ter"av"ainen 于 2021 年发表于 Trans. Amer. Math. Soc. 的第 374 卷中提出的猜想提供了进展。我们的证明结合了分析数论、谐波分析、Baker 关于线性对数形式的理论以及序列在模 $1$ 下均匀分布的不平凡界限。