高阶特征和的大和 II

设 $\chi$ 为模 $q$ 的本原特征,且 $\delta > 0$。假设 $\chi$ 具有大阶 $d$,对于任意 $d$ 次单位根 $\alpha$,当 $x > q^{\delta}$ 时,我们得到了满足 $\chi(n) = \alpha$ 的 $n \leq x$ 数量的非平凡上界。这改进了第一作者先前的结果,去除了对 $q$ 和 $d$ 的限制。作为推论,我们推导出:如果 $d$ 的最大素因子满足 $P^+(d) \to \infty$,那么当 $x > q^{\delta}$ 时,对于任意固定的 $\delta > 0$,水平集 $\chi(n) = \alpha$ 的解数为 $o(x)$。我们的证明依赖于(除其他外)对第一作者提出的、关于特征 $\chi^\ell$(对 $1 \leq \ell \leq d-1$ 取平均)的短和均方估计的改进,该改进在 $d$ 足够大时超越了Burgess定理。事实上,我们证明了另一个结果:要么(a)$\chi$ 本身的部分和,要么(b)$\chi^\ell$(对于“几乎所有”$1 \leq \ell \leq d-1$)的部分和,在区间 $[1, q^{\delta}]$ 上出现抵消,对于任意固定的 $\delta > 0$ 均成立。通过类似的方法,我们还证明了Pólya-Vinogradov不等式对于 $\chi$ 本身或几乎所有 $\chi^\ell$(其中 $1 \leq \ell \leq d-1$)可以得到改进。特别地,当 $d$ 为足够大的偶数时,我们的平均估计是非平凡的。