短特征值和的Pólya–Vinogradov不等式

本文得到了 Pólya–Vinogradov 不等式的一种变体，其中和式限制在某个高度内。设 $\chi$ 为模 $q$ 的原特征，$\epsilon > 0$ 且 $N\le q^{1-\gamma}$，其中 $0\le \gamma \le 1/3$。我们证明 \begin{equation*} \left|\sum_{n=1}^N \chi(n) \right|\le c(\frac{1}{3}-\gamma+\epsilon)\sqrt{q}\log q \end{equation*} 当 $\chi$ 为偶特征时 $c=2/\pi^2+o(1)$，当 $\chi$ 为奇特征时 $c=1/\pi+o(1)$。