带乘性系数的平移特征和，II

设 $f(n)$ 为满足 $|f(n)|\leq 1$ 的乘性函数，$q$ 为素数，$a$ 为满足 $(a, q)=1$ 的整数，$\chi$ 为模 $q$ 的非主 Dirichlet 特征。设 $\varepsilon$ 为充分小的正常数，$A$ 为大常数，$q^{\frac12+\varepsilon}\ll N\ll q^A$。本文将证明 $$\sum_{n\leq N}f(n)\chi(n+a)\ll N\frac{\log\log q}{\log q}$$ 以及 $$\sum_{n\leq N}f(n)\chi(n+a_1)\cdots\chi(n+a_t)\ll N\frac{\log\log q}{\log q},$$ 其中 $t\geq 2$，$a_1, \ldots, a_t$ 为模 $q$ 互不相同的整数。