关于 Piatetski-Shapiro 型素数及几乎素数上的陈氏定理

本文建立了 Piatetski-Shapiro 序列上一个新的 Bombieri-Vinogradov 型均值定理。即证明了对于任意给定常数 $A>0$ 及任意充分小 $\varepsilon>0$，只要 $1\leqslant A_1(x)<A_2(x)\leqslant x^{1-\varepsilon}$ 且 $g(a)\ll \tau_r^s(a)$，其中 $l\not=0$ 为固定整数，且 \begin{equation*} \xi:=\xi(\gamma)=\frac{2^{38}+17}{38}\gamma-\frac{2^{38}-1}{38}-\varepsilon \end{equation*} 满足 \begin{equation*} 1-\frac{18}{2^{38}+17}<\gamma<1, \end{equation*} 就有 \begin{equation*} \sum_{\substack{d\leqslant x^\xi\\ (d,l)=1}}\Bigg|\sum_{\substack{A_1(x)\leqslant a<A_2(x)\\ (a,d)=1}}g(a) \Bigg(\sum_{\substack{ap\leqslant x\\ ap\equiv l\!\pmod d \\ ap=[k^{1/\gamma}]}}1 -\frac{1}{\varphi(d)}\sum_{\substack{ap\leqslant x\\ ap=[k^{1/\gamma}] }} 1\Bigg)\Bigg|\ll\frac{x^\gamma}{(\log x)^A}. \end{equation*} 此外，对于满足 \begin{equation*} 1-\frac{0.03208}{2^{38}+17}<\gamma<1, \end{equation*} 的 $\gamma$，我们证明了存在无穷多素数 $p$ 使得 $p+2=\mathcal{P}_2$，其中 $\mathcal{P}_2$ 为类型 $\gamma$ 的 Piatetski-Shapiro 几乎素数，并且存在无穷多类型 $\gamma$ 的 Piatetski-Shapiro 素数 $p$ 使得 $p+2=\mathcal{P}_2$。这些结果推广了 Pan 和 Ding [37] 的结果，并改进了一系列先前结果 [29,31,39,47]。