素数间存在小间隙

在最近的预印本 [3] 中，Goldston、Pintz 与 Y{\i}ld{\i}r{\i}m 证明了，除其他结果外，$$\liminf_{n\to\infty}{p_{n+1}-p_n\over\log p_n}=0,\leqno(0)$$ 其中 $p_n$ 为第 n 个素数。在本文中，本质上是自包含的，我们将对 [3] 中所用方法给出一个简化的叙述。尽管 [3] 也包含了 (0) 的定量版本，我们此处仅关注证明定性的 (0)，它仍展示了方法的所有要点。我们还在此指出，Bombieri--Vinogradov 素数定理的一个改进将给出相邻素数之间无穷多次有界差。我们包含了一个简短的说明性最后一节。定量结果的详细讨论与历史回顾将出现在 [3] 的出版版本及其续作中。