关于维诺格拉多夫中值定理混合版本的研究

给定一族由 d 个互异非常数多项式构成的族 $\varphi= (\varphi_1, \ldots, \varphi_d)\in \mathbb{Z}[T]^d$，一个正整数 $k\le d$ 和一个正实参数 $\rho$，我们考虑指数和 $$S_{\varphi}( \mathbf{x}, \mathbf{y}; N) = \sum_{n=1}^{N} \exp\left(2 \pi i \left(\sum_{j=1}^k x_j \varphi_j(n)+ \sum_{j=1}^{d-k}y_j\varphi_{k+j}(n)\right)\right)$$ 的均值 $$M_{k, \rho} (\varphi, N) = \int_{\mathbf{x} \in [0,1]^k} \sup_{\mathbf{y} \in [0,1]^{d-k}} \left| S_{\varphi}(\mathbf{x}, \mathbf{y}; N) \right|^\rho d\mathbf{x}$$，其中 $\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_k)$ 且 $\mathbf{y} =(y_1, \ldots, y_{d-k})$。多项式 $\varphi_i(T) = T^i$, $i =1, \ldots, d$ 且 $k=d$ 的情形对应于经典的维诺格拉多夫均值定理。受 Wooley (2015) 和本文作者 (2019) 关于对几乎所有 $\mathbf{x} \in [0,1]^k$ 的 $\sup_{\mathbf{y} \in [0,1]^{d-k}} \left| S_{\varphi}( \mathbf{x}, \mathbf{y}; N) \right|$ 的界的最新工作启发，我们得到了 $M_{k, \rho} (\varphi, N)$ 的非平凡界。