对称多元 Elekes-R\'onyai 定理

我们考虑一个次数为 $\delta$ 的多项式 $P\in \mathbb{R}[x_{1},\cdots, x_{d}]$，其中 $d\geq 2$，且该多项式非平凡地依赖于 $x_1,...,x_d$ 中的每一个变量。对于满足 $2\leq t\leq d$ 的任意整数 $t$、任意自然数 $n \in \mathbb{N}$ 以及任意大小为 $n$ 的有限集 $A \subset \mathbb{R}$，我们的第一个结果表明 $$|P(A, A, \dots, A)| \gg_{\delta} n^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2^{d-t+2}}},$$ 除非 \begin{align*} &P(x_1, x_2, \dots, x_d) = f\big( u_1(x_1) + u_2(x_2) + \cdots + u_d(x_d) \big) \quad \text{或 } &P(x_1, x_2, \dots, x_d) = f\big( v_1(x_1) v_2(x_2) \cdots v_d(x_d) \big), \end{align*} 其中 $f$、$u_i$ 和 $v_i$ 是 $\mathbb{R}$ 上的非常值一元多项式，且存在一个索引子集 $I \subseteq [d]$ 满足 $|I| = t$，使得对于任意 $i, j \in I$，在加法情形下有 $u_i = \lambda_{ij} u_j$，或在乘法情形下有 $|v_i|= |v_j|^{\kappa_{ij}}$，其中 $\lambda_{ij}\in \mathbb{R}^{\neq 0},\kappa_{ij}\in\mathbb{Q}^{+}$ 为常数。该结果推广了由 Jing、Roy 和 Tran 证明的对称 Elekes-R\'onyai 定理。我们的第二个结果是关于高维中两个多项式的广义 Erd\H{o}s-Szemer\'edi 定理，推广了 Jing、Roy 和 Tran 的另一个定理。我们证明中的一个关键要素是 Elekes、Nathanson 和 Ruzsa 定理的一个变体。