Elekes-Szabó 问题与一致性猜想

在本文中，我们假设一致性猜想成立，给出有理数域上 Elekes-Szabó 问题的一个条件性改进。我们的主要结果表明，对于属于特定多项式族的 $F\in \mathbb{Q}[x,y,z]$，以及任意有限集 $A, B, C \subset \mathbb Q$ 且 $|A|=|B|=|C|=n$，有 $$|Z(F) \cap (A\times B \times C)| \ll n^{2-\frac{1}{s}}.$$ 整数 $s$ 的值依赖于多项式 $F$，但总有界 $s \leq 5$，因此即使在最坏适用情形下，这也对 Raz、Sharir 和 de Zeeuw (arXiv:1504.05012) 的一个界给出了定量改进。我们给出了在离散几何与算术组合学中的若干应用。例如，对任意集合 $P \subset \mathbb Q^2$ 及任意两点 $p_1,p_2 \in \mathbb Q^2$，我们证明 $p_i$ 中至少有一个满足界 $$| \{ \| p_i - p \| : p \in P \}| \gg |P|^{3/5},$$ 其中 $\| \cdot \|$ 表示欧氏距离。这给出了 Sharir 和 Solymosi (arXiv:1308.0814) 结果的一个条件性改进。