Elekes-Szabó 与 Elekes-Rónyai 问题的构造

我们给出一个非退化多项式 $F\in \mathbb R[x,y,z]$ 以及基数为 $n$ 的集合 $A$ 的构造，使得 $\left|Z(F)\cap (A \times A \times A) \right| \gg n^{\frac{3}{2}}$，从而为 Elekes--Szabó 问题提供了一个新的下界构造。我们还给出了一个相关的、限制在某个子图上的 Elekes--Rónyai 问题构造。该构造包含一个非加性亦非乘性的多项式 $f\in \mathbb R[x,y]$、一个大小为 $n$ 的集合 $A$，以及一个子集 $P\subset A\times A$，其大小 $|P|\gg n^{3/2}$，且 $f$ 在该子集上仅取 $n$ 个不同的值。