分数维集合上的多项式 Roth 定理

设 $E\subset \mathbb{R}$ 为 Hausdorff 维数 $\alpha\in (0, 1)$ 的闭集。设 $P: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 为无常数项且次数大于一的多项式。我们证明，若 $E$ 支撑一个满足特定维数条件和 Fourier 衰减条件的概率测度，则 $E$ 包含三点 $x, x+t, x+P(t)$（其中 $t>0$）。我们的结果在相同假设下将 Laba 与第三作者之一的结果推广到多项式情形。它也给出了 Henriot、Laba 与第三作者之一中提出问题的一个肯定回答。