扩张多项式：Elekes-Rónyai 定理到 $d$ 个变量的推广

我们证明如下命题。设 $f\in\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_d]$，其中 $d\ge 3$，并假设 $f$ 在 $x_1,\ldots,x_d$ 每个变量上均非平凡依赖。则以下之一成立。（i）对每组有限集 $A_1,\ldots,A_d\subset \mathbb{R}$，大小均为 $n$，我们有 $$|f(A_1\times\ldots\times A_d)|=\Omega(n^{3/2}),$$ 其比例常数依赖于 ${\rm deg} f$。（ii）$f$ 具有以下形式之一 \begin{align*} f(x_1,\ldots, x_d)&=h(p_1(x_1)+\cdots+p_d(x_d))~~\text{或}\\ f(x_1,\ldots, x_d)&=h(p_1(x_1)\cdot\ldots\cdot p_d(x_d)), \end{align*} 其中 $h(x), p_1(x),\ldots,p_d(x)$ 为某些一元实多项式。这推广了 [ER00,RSS, RSdZ] 中处理 $d=2$ 和 $d=3$ 情形的结果。