维数扩张多项式与离散化 Elekes-Rónyai 定理

我们刻画了二元实解析函数作用于笛卡尔积时何时是“维数扩张”的。若 $P$ 是一个二元实解析函数，且不在局部上具有形式 $P(x,y) = h(a(x) + b(y))$，则只要 $A$ 和 $B$ 是 $\mathbb{R}$ 的具有 Hausdorff 维数 $0<\alpha<1$ 的 Borel 子集，我们就有 $P(A,B)$ 的 Hausdorff 维数至少为 $\alpha + \epsilon$，其中某个 $\epsilon(\alpha)>0$ 独立于 $P$。该结果是尖锐的，在如下意义下：若 $P(x,y) = h(a(x) + b(y))$ 则此类形式的估计不可能成立。我们还证明了该结果一个更技术性的单尺度版本，它是 Katz-Tao 离散化环猜想背景下 Elekes-Rónyai 定理的类似物。作为一个应用，我们证明了一个离散化非集中集在三个不同的解析投影函数下不可能有小的非线性投影，只要相应的 3-网具有非零的 Blaschke 曲率。