用小乘积集对一致范数进行无维数离散化

设 $f$ 为次数至多为 $K-1$ 的解析多项式。Bernstein 的一个经典不等式将 $f$ 在单位圆上的上确界范数与其在 $K$ 次单位根采样集上的上确界范数进行比较。该不等式的许多推广常归于 $L^p,1\le p\leq \infty$ 范数的 Marcinkiewicz-Zygmund 型不等式框架下。我们研究这些离散化不等式在高维情形下的无维数推广，现有结果构造的采样集基数随多项式的总次数增长。本文中我们表明，无维数离散化可用基数独立于 $\deg(f)$ 而由 $f$ 的最大单变量次数（即 $f$ 视为任一坐标下的单变量多项式时的最大次数）决定的采样集实现。例如，我们发现对于 $n$ 元解析多项式 $f$，其总次数至多为 $d$、单变量次数至多为 $K-1$，有 $\|f\|_{L^\infty(\mathbf{D}^n)}\leq C(X)^d\|f\|_{L^\infty(X^n)}$ 对任意单位圆盘 $\mathbf{D}$ 中满足 $|X|=K$ 的固定 $X$ 成立。常数中对 $d$ 的依赖对此类小采样集是紧的，这类小采样集自然出现于例如研究来自循环群乘积上函数的有界次多项式时。作为一个应用，我们得到了具有显式常数 $O(\log K)^{2d}$ 的循环群 Bohnenblust-Hille 不等式的证明。