独立根的随机多项式高阶导数的收敛性

设 $\mu$ 为复数上的概率测度，设 $P_n$ 为其零点独立抽样得到的随机多项式。我们研究高阶导数的零点分布的渐近行为。我们表明，对于广泛的 $\mu$ 类测度，零点经验分布的 $k$ 次导数的极限分布仍为 $\mu$，其中所有导数阶数 $k=o(n/\log n)$。这包括所有离散测度以及满足轻微维度非退化条件的广泛测度族。我们进一步建立鲁棒性结果表明，对于任意 $\mu$，即便在添加vanishing比例的根来自维度非退化扰动后，导数零点测度仍收敛回 $\mu$。这些结果突破了之前关于导数阶数的对数屏障，表明极限根分布在导数阶数接近线性增长时仍被保持。