具有独立根的随机多项式的零点与临界点之间的配对

设 $p_n$ 为一个随机的、次数为 $n$ 的多项式，其根根据复平面上的概率测度 $\mu$ 独立选取。对于一个位于 $\mu$ 的支撑集之外的确定性点 $\xi$，我们证明多项式 $q_n(z):=p_n(z)(z - \xi)$ 几乎必然在距 $\xi$ 为 $O(1/n)$ 的距离处有一个临界点。换言之，在条件化随机多项式 $p_n$ 于 $\xi$ 处有一个根时，几乎必然迫使在 $\xi$ 附近出现一个临界点。更一般地，我们证明了对于 $q_n(z):=p_n(z)(z - \xi_1)\cdots (z - \xi_k)$ 的临界点的一个类似结果，其中 $\xi_1, \ldots, \xi_k$ 是确定性的。此外，当 $k=o(n)$ 时，我们证明由 $q_n$ 的临界点构成的经验分布随着次数趋于无穷而以概率收敛于 $\mu$，从而推广了 Kabluchko 最近的结果。