反集中性在多项式随机化导数根中的应用

设 $(Z^{(n)}_k)_{1 \leq k \leq n}$ 为一随机点集，$\mu_n$ 为其经验测度：$$\mu_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \delta_{Z^{(n)}_k}.$$ 设 $$P_n(z) := (z - Z^{(n)}_1)\cdots (z - Z^{(n)}_n)\quad \text{且}\quad Q_n (z) := \sum_{k=1}^n \gamma^{(n)}_k \prod_{1 \leq j \leq n, j \neq k} (z- Z^{(n)}_j),$$ 其中 $(\gamma^{(n)}_k)_{1 \leq k \leq n}$ 为独立同分布的随机变量，服从参数为 $\beta/2$ 的 Gamma 分布（$\beta > 0$ 为固定常数）。我们证明，当 $n \rightarrow \infty$ 时，若 $\mu_n$ 几乎处处收敛于 $\mu$，则随机化导数 $Q_n$ 的复零点经验测度在 $n$ 趋于无穷时亦几乎处处收敛于 $\mu$。进一步地，对于 $k = o(n / \log n)$，我们证明 $P_n$ 的 $k$ 阶随机化导数的零点在相同意义下收敛于极限测度 $\mu$。对于与单位圆相关的随机化导数变体，我们亦得出相同结论。