多项式在迭代微分下的零点演化

对于一个次数为$n$的 monic 多项式$Q_n$，设$Q_{n, k}$为其第$k$次导数归一化为 monic 的结果。在唯一假设序列$\{Q_n\}具有 weak* 极限零分布(即零点的经验分布)由表示复平面上紧支撑集的概率测度$\mu_0$表示的情况下，我们证明当$n, k \rightarrow \infty$且$k/n \rightarrow t \in(0,1)$时，归一化的零计数测度的 Cauchy 变换在无穷远处的收敛性分析函数，唯一由$\mu_0$和$t$决定，可写作$\mu_t$的 Cauchy 变换，其中$\mu_t$不一定唯一确定，除非$\mu_0$支撑在实数轴上。这些 Cauchy 变换的族以及，当 well 定义时，相应测度$\mu_t$,$t \in(0,1)$，其参数$t$的依赖可解释为零点在迭代微分下的流动，与无粘性 Burgers 方程、$\mu_0$的分数 free 卷积或支配$\mu_t$在$\mathbb R$上密度的非局部扩散方程有若干有趣的联系。我们提供一种基础且统一的方法，不仅恢复了各种先前工作中观察到的现象——从 Burgers 类型 PDE 到 free 概率极限——也对这些现象进行了解释。