加权平衡与多项式导数的流动

给定一序列长度为 $n$ 的多项式 $Q_n$，其零点位于区间 $[-1,1]$ 上。我们考虑该多项式阶梯形态的导数 $Q_{n, k}(x)=d^k Q_n(x) /d x^k$。在假设序列 $\{Q_n\}$ 的零点分布（即经验分布）收敛于弱*意义下由arcsine规律给出的极限分布的前提下，我们证明当 $n, k \rightarrow \infty$ 且 $k / n \rightarrow t \in[0,1)$ 时，多项式 $Q_{n, k}$ 的零点计数测度收敛于一个明确给出的测度 $\mu_t$。该测度是区间 $[-1,1]$ 在外部场中的大小为 $1-t$ 的平衡测度，而该外部场由两个大小为 $t/2$ 的质点固定在 $\pm 1$ 处。本文的主要目标是提供该事实的直接势论证明。