${\mathbb C}^d$ 中的随机加权和正交多项式

我们考虑形如 $G_n(z):= \sum_{|\alpha|\leq n} \xi^{(n)}_{\alpha}p_{n,\alpha}(z)$ 的随机多项式，其中 $\{\xi^{(n)}_{\alpha}\}_{|\alpha|\leq n}$ 为独立同分布的（复）随机变量，$\{p_{n,\alpha}\}_{|\alpha|\leq n}$ 构成 $\mathcal P_n$ 的一组基，$\mathcal P_n$ 是 ${\mathbb C}^d$ 中次数不超过 $n$ 的全纯多项式集合。特别地，这包含了 $\{p_{n,\alpha}\}$ 在空间 $L^2(e^{-2n Q} \tau)$ 中标准正交的设定，其中 $\tau$ 是紧支撑的 Bernstein-Markov 测度，$Q$ 是连续的权函数。在对随机变量 $\{\xi^{(n)}_{\alpha}\}$ 施加最优矩条件的情况下，我们在 $d=1$ 维中证明了零测度依概率收敛于加权平衡测度，并在 $d \ge 2$ 维中证明了零电流的收敛性。