正交多项式线性组合的零点

给定一序列正度量下正交多项式 $(p_n)_n$，我们研究形如 $$q_n(x)=\sum_{j=0}^K\gamma_jp_{n-j}(x),\quad n\ge K,$$ 的 $K+1$ 连续正交多项式线性组合的实零点，其中 $\gamma_j$, $j=0,\cdots ,K$ 为实数且 $\gamma_0=1$, $\gamma_K\not =0$（且不随 $n$ 而变）。我们证明：对于任意正度量 $\mu$，总存在一序列正交多项式满足该度量条件，使得上述 $q_n$ 的所有零点在 $n\ge n_0$ 时均为实数且互不相同，其中 $n_0$ 为正整数，取决于 $K$ 与各 $\gamma_j$ 的值。