随机多项式零点收敛的充要条件

考虑形式为 $G_n = \sum_{i=0}^n \xi_i p_i$ 的随机多项式，其中 $\xi_i$ 是独立同分布的非退化复随机变量，$\{p_i\}$ 是关于支撑在紧集 $K$ 上的正则测度 $\tau$ 正交的多项式序列。我们证明，$G_n$ 的零点测度几乎必然弱收敛到 $K$ 的平衡测度，当且仅当 $\mathbb{E} \log(1 + |\xi_0|) < \infty$。这推广了 Ibragimov 和 Zaporozhets 在 $p_i(z) = z^i$ 情形下的相应结果。我们还证明，$G_n$ 的零点测度依概率弱收敛到 $K$ 的平衡测度，当且仅当 $\mathbb{P} (|\xi_0| > e^n) = o(n^{-1})$。我们的证明依赖于小球概率的结果并利用了一般正交多项式的结构。我们的方法也适用于 $L^p(\tau)$ 中渐近极小多项式序列，其中 $p \in (0, \infty]$。特别地，$L^p$-极小多项式序列以及（归一化）Faber 和 Fekete 多项式属于此类。