随机多项式零点的等分布

我们研究了随机多项式 $P_n(z) = \sum_{k=0}^n A_k B_k(z)$ 零点的渐近分布，其中 $\{A_k\}_{k=0}^{\infty}$ 为非平凡的独立同分布复随机变量。多项式 $\{B_k\}_{k=0}^{\infty}$ 是确定性的，选自与由解析曲线边界围成的约当域 $G$ 相关的标准基，例如 Szeg\H{o}、Bergman 或 Faber 多项式。我们证明，$P_n$ 的零点计数测度几乎必然收敛到 $G$ 边界上的平衡测度，当且仅当 $\mathbb{E}[\log^+|A_0|]<\infty$。