随机多项式与 $\mathbb{C}^m$ 上随机多项式映射的零点等分布

我们研究与 $\mathbb{C}^{m}$ 上一列 $Z$-渐近切比雪夫多项式相关的零点等分布问题。我们利用 Bayraktar、Bloom 和 Levenberg 最近一项工作中得到的若干结果，并在比 Bayraktar、Bloom 和 Levenberg 的论文所考虑的更为一般的概率框架下获得了等分布结果，尽管他们所用的基多项式比 $Z$-渐近切比雪夫多项式更为一般。我们的等分布结果基于与多项式零点集（零除子）相对应的随机零电流的期望分布与方差估计。这一一般性的等分布结果表明，即使随机系数不是独立同分布（i.i.d.）的，等分布结果依然成立，这也意味着无需为这些随机系数使用任何特定的概率分布函数。在最后一节，与 $1$-余维情形不同，我们研究在给定局部正则紧集上由加权渐近 Bernstein-Markov 测度定义的 $L^{2}$-内积下正交的多项式基，并在 Bayraktar 充分研究过的一种概率分布（包含（标准）高斯分布与 Fubini-Study 概率分布作为特例）下，得到了余维数大于 $1$ 时的等分布结果。