具有整数系数的小多项式

我们研究在实线段或平面紧集上以整数系数多项式最小化上确界范数的问题。极值多项式自然被称为整数 Chebyshev 多项式。它们的因式、零点分布与渐近性是本文的主题。特别地，我们证明对任意实数直线的无限子集，整数 Chebyshev 多项式必有无穷多个不同的因式，这回答了 Borwein 和 Erd\'{e}lyi 的一个问题。此外，证明了此时其零点的聚积集必具有正容量。我们还找到了某些双纽线类的显式整数 Chebyshev 常数的首个非平凡例子。由于很少能取得整数 Chebyshev 常数的精确值，良好的估计尤为重要。引入加权位势论方法，我们推广并改进了整数 Chebyshev 常数的 Hilbert-Fekete 上界。这些方法也给出整数 Chebyshev 多项式因式重数的界，以及整数 Chebyshev 常数的下界。而且，所有上述界均可通过各种极值点技巧（如加权 Leja 点算法）数值求得。将我们的结果应用于 $[0,1]$ 线段的经典情形，我们改进了已知的整数 Chebyshev 常数界与整数 Chebyshev 多项式因式重数界。