随机多项式的零点及其在展开问题中的应用

设$\mu$为$\mathbb{C}$上具有连续且紧支撑密度函数的概率测度，令$z_1, \dots, z_n$为独立随机变量，$z_i \sim \mu$，并考虑随机多项式$$p_n(z) = \prod_{k=1}^{n}{(z - z_k)}.$$我们确定了$\left\{z \in \mathbb{C}: p_n(z) = p_n(0)\right\}$的渐近分布。特别地，若$\mu$关于原点是径向的，则当$n \rightarrow \infty$时这些解也依$\mu$分布。一般而言，解的分布会重现$\mu$的若干部分并将另一部分凝聚于曲线上。我们利用这些见解研究Blaschke展开级数在随机数据上的行为。