关于具有中间数量实根的随机多项式

对每个 $\alpha \in (0, 1)$，我们构造一个有界单调的确定性实数序列 $(c_k)_{k \geq 0}$，使得随机多项式 $f_n(z) = \sum_{k=0}^n c_k \varepsilon_k z^k$ 的实根个数为 $n^{\alpha + o(1)}$ 的概率在次数 $n$ 趋于无穷时趋于一，其中 $(\varepsilon_k)$ 是满足轻微反集中假设的有限均值独立同分布（实）随机变量序列。特别地，这包括 $(\varepsilon_k)$ 为独立同分布标准高斯或 Rademacher 随机变量序列的情形。该结果证实了 O. Nguyen 于 2019 年提出的一个猜想。更一般地，我们的主要结果还描述了 $f_n$ 实根数的若干统计性质，包括方差的渐近行为与一个中心极限定理。