随机多项式的实根与扩散方程的过零性质

我们研究了最近在概率论和量子混沌背景下引起广泛关注的三类不同随机多项式的实根的各种统计性质。我们首先关注实轴上的间隙概率，即这些多项式在给定区间内没有实根的概率。对于由整数 d 索引的大次数 n 的广义 Kac 多项式，人们发现其在区间 [0,1] 内无实根的概率按幂律 n^{-\theta(d)} 衰减，其中 \theta(d) > 0 是空间维数 d 中具有随机初始条件的扩散方程的持久性指数。对于 n \gg 1 且为偶数的情况，其在整个实轴上无实根的概率按 n^{-2(\theta(2)+\theta(d))} 衰减。对于 Weyl 多项式和二项式多项式，该概率分别按 \exp{(-2\theta_{\infty}} \sqrt{n}) 和 \exp{(-\pi \theta_{\infty} \sqrt{n})} 衰减，其中 \theta_{\infty} 满足在大维数 d 下 \theta(d) = 2^{-3/2} \theta_{\infty} \sqrt{d}。我们还表明，此类多项式在给定区间 [a,b] 上恰好有 k 个根的概率具有由 \exp{(-N_{ab} \tilde \phi(k/N_{ab}))} 给出的标度形式，其中 N_{ab} 是 [a,b] 内实根的平均数量，\tilde \phi(x) 是一个普适标度函数。我们发展了一种简单的平均场 (MF) 理论，定性重现了这些标度行为，并利用具有部分存活的持久性方法系统地改进了这种 MF 方法，该方法在某些情况下可得出精确结果。最后，我们证明了最大绝对值实根的概率密度函数具有指数为 {-2} 的普适代数尾。这些解析结果得到了详细数值计算的证实。