随机多项式的实根：期望与排斥

设 $P_{n}(x)= \sum_{i=0}^n \xi_i x^i$ 为一个 Kac 随机多项式，其中系数 $\xi_i$ 是给定随机变量 $\xi$ 的独立同分布副本。我们的主要结果是关于实根排斥的一个最优定量界。由此导出了存在重根概率的一个最优界。作为应用，我们考虑了估计 $P_n$ 实根个数的问题，该问题历史悠久，特别是曾是 Littlewood 和 Offord 在 20 世纪 40 年代发表的一系列著名论文的主题。我们证明，对于一大类自然的本原变量 $\xi$，$P_n(x)$ 的实根期望个数恰好为 $\frac{2}{\pi} \log n +C +o(1)$，其中 $C$ 是依赖于本原变量 $\xi$ 的绝对常数。在此之前，此类结果仅在 $\xi$ 为高斯分布的情形下已知。