随机多项式实根的强大数定律

我们考虑随机多项式 $p_n(x)=\xi_0+\xi_1+\dots+\xi_n x^n$，其系数独立同分布，均值为零，方差为1，且具有有界的 $(2+\epsilon)^{th}$ 矩（对于某个 $\epsilon>0$），也称为 Kac 多项式。设 $N_n$ 表示 $p_n$ 的实根数量。在本文中，受 Igor Pritsker 提出的问题的启发，我们证明了几乎必然地有以下收敛成立：\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{N_n([-1,1])}{\log n} &=& \frac 1 \pi. \end{eqnarray*} 这一收敛可被视为实根的局部强大数定律。证明的主要工具是一组极大不等式，它将证明归结为证明沿着缺项子序列的收敛，而这又源于 Can--Nguyen 最近的集中估计。