实随机多项式根在实轴上的凝聚

我们引入了一族次数为n的实随机多项式，其系数$a_k$是对称独立高斯变量，方差为$<a_k^2> = e^{-k^\alpha}$，由实数$\alpha \geq 0$索引。我们精确计算了大n时平均实根数$<N_n>$。随着$\alpha$的变化，发现了三个不同的相。首先，对于$0 \leq \alpha < 1$，发现$<N_n> \sim (\frac{2}{\pi}) \log{n}$。对于$1 < \alpha < 2$，存在一个中间相，其中$<N_n>$以连续变化的指数代数增长，$<N_n> \sim \frac{2}{\pi} \sqrt{\frac{\alpha-1}{\alpha}} n^{\alpha/2}$。最后，对于$\alpha > 2$，发现第三个相，其中$<N_n> \sim n$。因此，这族实随机多项式表现出其根在实轴上的凝聚，即对于大n，其根的有限分数$<N_n>/n$是实的。这种凝聚通过实根在值$\pm \exp{[\frac{\alpha}{2}(k+{1/2})^{\alpha-1} ]}$（$1 \ll k \leq n$）附近的局域化发生。