随机实数广义多项式根的分布

表达单项式广义多项式 $P_n(z)=\phi(z)+\sum_{k=1}^n c_k f_k(z)$ 中零的平均密度，其中 $\phi ,f_k$ 为实值holomorphic函数，系数为实高斯分布。我们获得了由复杂根生成的regular component以及由实根生成的singular component的平均根密度的紧凑表达式。regular component的密度在实轴附近像 $|\mathrm{Im}\, z|$ 的形式趋于零。我们给出低无程和高无程的渐近行为。随后我们特别关注单项式代数多项式 $P_n(z) = z^n +\sum_{k=1}^{n} c_k z^{n-k}$ 的复杂根平均密度，其中系数为实独立同分布的高斯分布，均值为零，分散为 $\delta = \frac{1}{\sqrt{n\lambda}}$。平均密度在 $\xi \coth \frac{\xi}{2} \ll n|\sin \arg (z)|$ 的区域趋于一个简单、{\em universal} 的函数，其中 $\xi={2n}{\log |z|}$ 和 $\lambda$，该区域是大 $n$ 时几乎所有根所在的位置。