重尾系数随机多项式复根的分布

考虑一个具有独立同分布复值系数的随机多项式 $G_n(z)=\xi_nz^n+...+\xi_1z+\xi_0$。假设 $\log(1+\log(1+|\xi_0|))$ 的分布具有缓变尾部。那么当 $n\to\infty$ 时，$G_n$ 的复根分布在概率上集中于两个同心圆，并且当 $n\to\infty$ 时辐角分布是均匀的。这两个圆的半径分别为 $|\xi_0/\xi_\tau|^{1/\tau}$ 和 $|\xi_\tau/\xi_n|^{1/(n-\tau)}$，其中 $\xi_\tau$ 表示模最大的系数。