Kac 多项式及其导数的空洞半径

具有方差为 1 的独立系数的 Kac 多项式 $$f_n(x) = \sum_{i=0}^{n} \xi_i x^i$$ 是最受研究的随机多项式模型之一。众所周知，根的经验测度收敛到单位圆盘上的均匀测度。另一方面，在单位圆盘上的任意点，以一个高概率没有根存在的空洞。在一项出色的工作 \cite{michelen2020real} 中，Michelen 证明了在 $\pm 1$ 处的空洞阶为 $1/n$。我们证明事实上，所有空洞半径都是同阶的。对于 Kac 多项式的导数也建立了相同现象。