随机正交多项式：局部普适性与实根期望个数

我们考虑随机正交多项式 $$F_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}\xi_{i}p_{i}(x),$$ 其中 $\xi_{0}$, \dots, $\xi_{n}$ 是均值为零、方差为1且 $(2+\ep)$ 阶矩一致有界的独立随机变量，$(p_n)_{n=0}^{\infty}$ 是实轴上关于某个固定紧支撑测度的正交多项式系。在众多经典多项式系所满足的温和技术假设下，我们建立了 $F_n$ 实根平均个数的前渐近的普适性，包括全局与局部情形。在本文之前，这些结果仅通过 Kac-Rice 公式对具有高斯系数的随机正交多项式 \cite{lubinsky2016linear} 已知，而该方法无法推广到本文的一般情形。