随机三角多项式实根的局部普适性

考虑如下形式的随机三角多项式 X_n: \mathbb R \to \mathbb R：X_n(t) = \sum_{k=1}^n \left( \xi_k \sin (kt) + \eta_k \cos (kt)\right)，其中 (\xi_1,\eta_1),(\xi_2,\eta_2),\ldots 是独立同分布的双变量实随机向量，具有零均值与单位协方差矩阵。令 (s_n)_{n\in\mathbb N} 为任意实数序列。我们证明当 n\to\infty 时，X_n 在区间 [s_n+a/n, s_n+ b/n] 中实零点的个数依分布收敛于一个平稳、零均值高斯过程在区间 [a,b] 中的零点个数，该高斯过程的相关系数为 (\sin t)/t。我们还针对具有任意协方差矩阵或属于二维 α-稳定律吸引域的居中随机向量 (\xi_k,\eta_k) 建立了类似的局部普适性结果。