二元随机三角多项式节点长度的普适性

我们考虑如下形式的随机三角多项式：$$f_n(x,y)=\sum_{1\le k,l \le n} a_{k,l} \cos(kx) \cos(ly),$$ 其中元素 $(a_{k,l})_{k,l\ge 1}$ 是独立同分布的随机变量，均值为零且具有单位方差。我们研究属于紧集 $K \subset \mathbb R^2$ 的 $f_n$ 零点之节点集 $Z_K(f_n)$ 的长度 $\ell_K(f_n)$。我们首先建立了一个局部普适性结果，即证明了当 $n$ 趋于无穷时，随机变量序列 $n\, \ell_{K/n}(f_n)$ 依分布收敛到一个不依赖于元素具体分布的普适极限。随后我们证明，在宏观尺度上，$\ell_{[0,\pi]^2}(f_n)/n$ 的期望也收敛到一个普适极限。我们的方法提供了两个主要副产品：(i) 一个关于节点集体积在 $C^1$-收敛下连续性的普遍结果，该结果改进了 Rusakov 等人、Iksanov 等人以及 Aza"is 等人的先前发现；(ii) 一种用于证明随机三角模型中小球估计的新策略，进而提供了对节点体积的一致局部控制。