关于具有相依系数的随机三角多项式实零点的研究

我们考虑如下形式的随机三角多项式 $$f_n(t):=\sum_{1\le k \le n} a_{k} \cos(kt) + b_{k} \sin(kt),$$ 其系数序列 $(a_{k})_{k\ge 1}$ 和 $(b_{k})_{k\ge 1}$ 由两个具有相同相关函数 $\rho$ 的独立平稳高斯过程给出。在对与 $\rho$ 相关的谱函数 $\psi_\rho$ 的温和假设下，我们证明了 $f_n$ 在区间 $[0,2\pi]$ 内实根数目 $N_n([0,2\pi])$ 的期望满足 $$\lim_{n \to +\infty} \frac{\mathbb E\left [N_n([0,2\pi])\right]}{n} = \frac{2}{\sqrt{3}}.$$ 后一结果不仅涵盖了众所周知的系数独立的情形，还使我们能够处理长程相依的情况。特别地，它包含了随机系数由具有任意 Hurst 参数的分数阶布朗噪声给出的情形。