随机三角多项式的Salem-Zygmund结果变体及其在几乎必然节点渐近性中的应用

在概率空间$(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$上，我们考虑两个独立序列$(a_k)_{k \geq 1}$和$(b_k)_{k \geq 1}$为独立同分布随机变量，均值为零，方差为1，且具有严格大于2的矩。定义相关的随机三角多项式$f_n(t) := \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n a_k \cos(kt)+b_k \sin(kt), \quad t \in \mathbb R$。在开创性工作中，对于Rademacher系数，Salem和Zygmund证明了$\mathbb P$几乎必然地：$\forall t\in\mathbb R,\quad \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \exp\left(i t f_n(x)\right) dx \xrightarrow[n\to\infty]~e^{-\frac{t^2}{2}}$。换句话说，如果$X$表示一个独立随机变量，均匀分布在$[0,2\pi]$上，则$\mathbb{P}$几乎必然地，在$X$的分布下，$f_n(X)$依分布收敛到标准高斯变量。本文从不同角度重新审视上述结果。即：i) 通过Stein方法建立了某个适当度量的可能尖锐收敛速率，ii) 证明了Salem-Zygmund中心极限定理的函数版本，iii) 将其推广到$X$的更一般分布，iv) 还证明了收敛实际上在总变差意义下成立。作为应用，在随机系数具有对称分布且具有4阶矩的情况下，我们证明了$\mathbb{P}$几乎必然地，对于任何区间$[a,b] \subset [0, 2\pi]$，有$\frac{\mathcal N(f_n,[a,b])}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{(b-a)}{\pi \sqrt{3}}$，其中$\mathcal N(f_n,[a,b])$表示$f_n$在区间$[a,b]$内的实零点个数。据我们所知，这样的几乎必然结果在随机三角多项式框架中是新的，即使在高斯系数情况下也是如此。