具有随机乘性系数的多项式的矩

对于 $X(n)$ 为 Rademacher 或 Steinhaus 随机乘性函数，我们考虑随机多项式 $$P_N(\theta) = \frac1{\sqrt{N}} \sum_{n\leq N} X(n) e(n\theta),$$ 并证明单位圆上的 $2k$ 次矩 $$\int_0^1 \big| P_N(\theta) \big|^{2k}\, d\theta$$ 在均方收敛意义下趋于高斯矩，对 $k \ll (\log N / \log \log N)^{1/3}$ 一致成立；但与独立同分布系数的情形相反，该行为在 $k$ 大得多时不再保持。我们利用这些估计来（i）给出 $P_N(\theta)$ 的几乎必然 Salem-Zygmund 型中心极限定理的证明，该定理此前由 Harper 以不同方法在未发表工作中得到；（ii）证明渐近几乎必然地 $$(\log N)^{1/6 - \varepsilon} \ll \max_\theta |P_N(\theta)| \ll \exp((\log N)^{1/2+\varepsilon}),$$ 对所有 $\varepsilon > 0$ 成立。