Rademacher随机乘性函数加权和的几乎必然界

我们证明了当 $f$ 为Rademacher随机乘性函数时，对任意 $\epsilon>0$，都有 $\sum_{n \leqslant x}\frac{f(n)}{\sqrt{n}} \ll (\log\log(x))^{3/4+\epsilon}$ 几乎所有 $f$ 都成立。我们还显示存在任意大的 $x$ 值使得 $\sum_{n \leqslant x}\frac{f(n)}{\sqrt{n}} \gg (\log\log(x))^{-1/2}$。这与Steinhaus情况不同，此时Rademacher Euler乘积的大小使得乘性混沌贡献为主导。我们也发现了在限制于具有素因子大于 $\sqrt{x}$ 的整数时的更精确上界，证明 $\sum_{\substack{n \leqslant x \ P(n) > \sqrt{x}}}\frac{f(n)}{\sqrt{n}} \ll (\log\log(x))^{1/4+\epsilon}$。