随机乘性函数和的分布极限分析

我们建立了 \frac{{(\log \log x)^{1/4}}{\sqrt{x}} \sum_{n\le x}\alpha(n) 的极限分布，其中 $\alpha$ 为 Steinhaus 随机乘性函数，回答了 Harper 的问题。通过对 suitably 截断求和应用鞅中心极限定理来证明分布收敛性。该截断灵感来自 Najnudel、Paquette、Simm 和 Vu 关于亚临界纤维乘性混沌的工作，但采用不同的条件化论证，这种论证是从 Harper 关于分数矩的工作推广而来，以规避临界性处的可积性问题。证明的重要部分致力于联想部分欧拉乘积收敛于临界乘性混沌测度，与轻微偏离临界线无关。我们的方法绕过了对临界非高斯乘性混沌通用性的障碍分析，借助修改的二阶矩方法，并采用基于耦合和度量变换的新颖论证，这可能独有其价值。