黎曼zeta函数与高斯乘性混沌：临界线上的统计

我们证明，若ω在[0,1]上均匀分布，则当T→∞时，t↦ζ(iωT+it+1/2)收敛于一个非平凡的随机广义函数，该函数进而被识别为一个性质非常良好的随机光滑函数与一个被称为复高斯乘性混沌分布的随机广义函数的乘积。这展示了数论与乘性混沌理论之间一个新颖而严格的联系——后者已知与数学的许多其他领域相关。我们还研究了zeta函数在介观尺度上的统计行为。我们证明，若让δ_T随着T→∞足够缓慢地趋近于零，则t↦ζ(1/2+iδ_T t+iωT)渐近地是一个由Selberg中心极限定理所暗示的发散标量因子与一个严格高斯乘性混沌的乘积。我们还对Haar分布随机酉矩阵的特征多项式证明了一个类似结果，其中标量因子略有不同，但乘性混沌部分完全相同。这本质上表明，在相差标量倍数的意义上，zeta函数与Haar分布随机酉矩阵的特征多项式在介观尺度上具有相同的分布。