零点与特征值计数的尾界及其在比值上的应用

设 $t$ 在区间 $[T,2T]$ 中随机均匀分布的，并考虑量 $N(t+1/\log T) - N(t)$，即黎曼 zeta 函数在高度为 $1/\log T$ 的盒子中的零点计数。在黎曼假设条件下，我们证明该计数大于 $x$ 的概率关于 $T$ 一致地以至少 $e^{-Cx\log x}$ 的速度衰减。我们还对 zeta 函数的对数导数证明了类似结果，以及对随机酉矩阵的特征值证明了类似的类比结果。我们利用此类结果在黎曼假设下证明，对于 $\beta\neq 0$ 的复数 $\alpha, \beta$，平均 $$\frac{1}{T} \int_T^{2T} \Bigg| \frac{\zeta\Big(\frac{1}{2} + \frac{\alpha}{\log T} + it\Big)}{\zeta\Big(\frac{1}{2}+ \frac{\beta}{\log T} + it\Big)}\Bigg|^m\,dt$$ 当 $T\rightarrow\infty$ 时保持有界。此外，我们严格证明了零点的局部分布渐近地控制如上比值平均；即 GUE 猜想蕴含一个（一阶）比值猜想。