自举零密度估计与黎曼$\zeta$函数零点的中心极限定理

我们无条件地证明了方差发散的黎曼$\zeta$函数零点线性统计量的中心极限定理。此前，此类定理是在黎曼假设成立的假设下证明的。该结果反映了 Szeg\H{o}、Spohn 和 Soshnikov 等人在随机矩阵理论中证明的中心极限定理，从而支持了$\zeta$函数零点分布类似于随机矩阵特征值的观点。我们证明的一个关键要素是对 Selberg 和 Jutila 关于$\zeta$函数的经典零密度估计进行简单的自举，这可能具有独立的兴趣。