Riemann Zeta 函数大偏差与矩的条件上界

假设黎曼假设成立，我们证明对于 $k>0$ 有 $$\frac{1}{T}\text{meas}\Big\{t\in [T,2T]:|\zeta(1/2+{\rm i} t)|>(\log T)^k\Big\}\leq C_k \frac{(\log T)^{-k^2}}{\sqrt{\log\log T}},$$ 其中 $C_k=\exp(e^{ck})$，$c>0$ 为某个绝对常数。这意味着 $|\zeta|$ 的 $2k$-矩的上界为 $C_k(\log T)^{k^2}$，恢复了 Harper 的界。该证明依赖于本文作者之一与 Bourgade 和 Radziwill（2020）提出的递归方案，并结合了 Soundararajan（2009）和 Harper（2013）的思想。