黎曼$\zeta$函数沿垂直线最大值的下界

设 $\alpha \in (1/2,1)$ 固定。我们证明，对于所有充分大的 $T$，有 $$\max_{0 \leq t \leq T} |\zeta(\alpha+it)| \geq \exp\left(\frac{c_\alpha (\log T)^{1-\alpha}}{(\log \log T)^\alpha}\right)$$ 其中可取 $c_\alpha = 0.18 (2\alpha-1)^{1-\alpha}$。Montgomery 此前已获得相同结果，但其 $c_\alpha$ 值较小。然而，我们的证明完全不同于 Montgomery 的方法，它结合了 Soundararajan 的“共振法”（resonance method）的修正版本以及 Hilberdink 的思想。这一新证明还使我们能够获得那些使得 $|\zeta(\alpha+it)|$ 达到上述量级的 $t \in [0,T]$ 的测度的下界。