大 GCD 和与黎曼 zeta 函数的极值

本文证明，在区间 $T^{1/2}\le t \le T$ 上，$|\zeta(1/2+it)|$ 的最大值至少为 $\exp\left((1/\sqrt{2}+o(1)) \sqrt{\log T \log\log\log T/\log\log T}\right)$。我们的证明使用了 Soundararajan 的共振方法以及一个特定的大 GCD 和。该证明方法表明，在我们近期一篇论文中建立的不等式 $$\sup_{1\le n_1<\cdots < n_N} \sum_{k,{\ell}=1}^N\frac{\gcd(n_k,n_{\ell})}{\sqrt{n_k n_{\ell}}} \ll N \exp\left(A\sqrt{\frac{\log N \log\log\log N}{\log\log N}}\right),$$ 中的绝对常数 $A$ 不能小于 $1$。