临界线之外的Gál型最大公约数求和

我们证明了 $$\sum_{k,{\ell}=1}^N\frac{(n_k,n_{\ell})^{2\alpha}}{(n_k n_{\ell})^{\alpha}} \ll N^{2-2\alpha} (\log N)^{b(\alpha)}$$ 对任意整数 $1\le n_1<\cdots < n_N$ 和 $0<\alpha<1/2$ 成立，并通过一个例子表明该界限是最优的，除了指数 $b(\alpha)$ 的精确值之外。该估计补充了近期对于 $1/2\le \alpha \le 1$ 的结果，并表明当 $0<\alpha<1/2$ 时，此类GCD求和的估计中没有黎曼zeta函数的函数方程的“痕迹”。