G\'al 定理的改进及其应用

我们给出了 G\'al 著名定理以及 Aistleitner、Berkes 和 Seip [1] 关于 GCD 和大小的近期相关结果的简单证明。事实上，我们的方法获得了 G\'al 定理中的渐近尖锐常数，这是新的成果。我们的方法还清晰地解释了黎曼$\zeta$函数在垂直线上的最大大小与 GCD 和的界之间的关系；这一点此前尚不清楚。此外，我们获得了 GCD 矩阵谱范数的尖锐界，解决了 [2] 中提出的问题。我们利用谱范数的界证明，若级数系数属于$L^2 (\log\log 1/L)^{\gamma}$且$\gamma > 2$，则由有界变差周期函数的伸缩变换构成的级数几乎处处收敛。此前已知该结论在$\gamma >4$时成立，且已知在$\gamma<2$时不成立。我们还发展了一个针对有界变差函数的尖锐 Carleson-Hunt 型定理，解决了 [1] 中提出的另一个问题。最后，我们获得了有界变差周期函数伸缩变换的部分和的几乎必然界，改进了 [1] 的结果。这意味着对于任意递增整数序列$n_k$，$\{n_k x\}$的偏差具有几乎必然界。